[２．１０進展開からｂ進展開へ]

今度は逆に剰余がどのような順ででてくるかに注目してみよう。

１÷７すなわちについて書き直すと順に

　　１＝０×７＋１
　１×１０＝１×７＋３
　３×１０＝４×７＋２
　２×１０＝２×７＋６
　６×１０＝８×７＋４
　４×１０＝５×７＋５
　５×１０＝７×７＋１

と書くことが出来る。ここで左辺に表れてくる１０は１０進数で考えているということであり、右辺の７が割る数となる。
ここでは今までとは逆に剰余がどのような順ででてくるかに注目した図になっている。

また、かける数として考えている１０は　１０＝１×７＋３であることを考えると実は１０の代わりに３をかけても同じ結果が得られる。すなわち、割る数が７であるときにはかける数としては７未満の数だけを考えればよいことが分かる。

しかし、 の１０進展開と３進展開を比較してみると。

１０進展開では

これに対して３進展開では

となり、あらわれる係数に関連は見られない。

従って剰余についてのみ関連があることが分かる。

について、この左辺の１０を７未満の数ｂにいろいろと変化させてみることにする。

（ｂ＝６）のとき

　　　１＝０×７＋１
　１×６＝０×７＋６
　６×６＝５×７＋１　
　　　　従ってｂ＝６の時は１→６→１→６→・・・

　更に最初の数字を変えると

　　　２＝０×７＋２
　２×６＝１×７＋５
　５×６＝４×７＋２
　　　　したがって２からはじめると２→５→２→・・・

（ｂ＝５）の時

　　　１＝０×７＋１
　１×５＝０×７＋５
　５×５＝３×７＋４
　４×５＝２×７＋６
　６×５＝４×７＋２
　２×５＝１×７＋３
　３×５＝２×７＋１

　　　　従ってｂ＝５の時は１→５→４→６→２→３→１→・・・

この場合には１から６までのすべての数字がでてくることが分かる。このことについてもっと詳しく調べてみよう。

　ｂ＝２

　１×２＝０×７＋２
　２×２＝０×７＋４
　３×２＝０×７＋６
　４×２＝１×７＋１
　５×２＝１×７＋３
　６×２＝１×７＋５

　　　　　１→２→４→１
　　　　　
　　　　　３→６→５→３

ｂ＝３

　１×３＝０×７＋３
　２×３＝０×７＋６
　３×３＝１×７＋２
　４×３＝１×７＋５
　５×３＝２×７＋１
　６×３＝２×７＋４

　　　　　１→３→２→６→４→５→１
ｂ＝４

　１×４＝０×７＋４
　２×４＝１×７＋１
　３×４＝１×７＋５
　４×４＝２×７＋２
　５×４＝２×７＋６
　６×４＝３×７＋３

　　　　　１→４→２→１

　　　　　３→５→６→３

ｂ＝６

　１×６＝０×７＋６
　２×６＝１×７＋５
　３×６＝２×７＋４
　４×６＝３×７＋３
　５×６＝４×７＋２
　６×６＝５×７＋１

　　　　　１→６→１

　　　　　２→５→２

　　　　　３→４→３

更に、このようにして書き表した剰余は実は７進法の九九になっている。

たとえば７進法ではｂ＝２のときを例に取ると

　２×１＝　２
　２×２＝　４
　２×３＝　６
　２×４＝１１
　２×５＝１３
　２×６＝１５
　（２×７はないことに注意）としたときの一の位と同じ現れ方になっている。同じようにして３の段から６の段までをまとめて書くと（７進法であることに注意）

となる。つまり、剰余について調べることは実はかけ算について調べることに他ならない。ここでシュタイナーのかけ算と剰余グラフの性質がつながってきた。

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