2002年6月に高1の生徒を対象に行った授業から

コンピュータを使っての授業は生徒に見せるだけならいざ知らず、生徒に実習させるとなると時間もかかり、進度を急がなくてはならない関係上なかなかやってみることができなかった。

　が、今回はちょうど中間試験も終わり、期末試験まではまだ時間があるということで、「チャンス」とばかりに情報の先生にも手伝ってもらって授業をやってみることにした。

使ったソフトは大阪教育大学附属高等学校池田校舎の友田先生が作られたフリーソフト「Grapes」。このソフトは高校の数学で使うような関数はすべてはいっているし、実際の授業でもこのソフトを使って作ったプリントを配布することは今までもよくあったのだが、今回は実際に生徒に演習してもらえればと・・・

まず最初に前回の授業の復習として判別式をもちいて二次関数のグラフとｘ軸との共有点の個数を計算で求める。その後、そのグラフを画面で確認。

最初のうちしばらくは生徒たちはモニターを見て観察させるだけにとどめた

確認が終わったところで新しい問題「y=x^2-3kx+18のグラフがｘ軸に接するときのkの値を求めよ。」

実際にどうなるのかを計算する前に左のグラフをグラフを動かしてみることにする。このとき、生徒たちにはｋのあたいとｘ軸との共有点の個数に注意させて、ｋがいくつのときに接するのかを実際に確認させた。アニメーションはこちら。

　　　　

このグラフの変化については生徒たちは驚いたようだった・・・といってもこっちは動かすのに必死で、生徒の反応を見るような余裕はなかったのだが・・・

ここではあえて不動点のことや頂点の軌跡に関してはふれなかった。不思議だと感じてもいいし、何も感じなくてもいいのではないかとも思ったし、いずれ習うときに「あのとき見たやつだ」と思いだしてくれればその方がずっと効果的な気がする。

最初に配ったプリントに、このときに気がついたことを書かせ、さらに判別式を使ってｋ＝４のときに判別式が０になることを確かめさせる。

一応次に習う二次不等式との関連で、「共有点が２個になるｋの範囲」や「共有点がないｋの範囲」なども問いかけると答えはするけれど、あまり印象には残らない様子。

次に共有点の個数で場合分けをする問題。こちらは定数項にのみｋが入っているから、グラフとしてはつまらないグラフ。

こちらからは問いかけはしないもののできることなら、どうして最初のグラフ（の軌跡）に比べてこっちのグラフ（の軌跡）は単純なのか考えて欲しいとも思ったのだが、ありがたいことに後で実際に演習をした際に気がついた生徒もいたようだった。

本来はこの後ホワイトボードみたいなソフトボードを使って解説をしようと思ったのだが、時計を見たら後１２，３分しか残っていない。

というわけで、ここでなければできないことを優先させて、生徒たちにソフトの使い方を教えて勝手にやらせることにする。

その後、「自分で好きなようにいろいろと動かしてみてください。頂点がどう動くかなんて言うのもおもしろいよ」・・・y=ax^2+bx+cの方は頂点の座標は入力してないので、知りたいときには自分で計算しなくてはならない・・・はずだ。

時間に余裕があれば、自分で書いたグラフをプリントアウトすることも考えたのだが、実際にはほとんど時間の余裕がなく、綺麗なグラフを書いた生徒もいたのに、保存することができなかったのが残念だった。

どちらかというと生徒にグラフを書かせたかったのだが・・・

前で授業をやっていると生徒の顔は全く見えないのだが、後から写真を見るとみんな真剣に画面を見ているようだった。

一応心づもりとしては「最大値の最小値」や「不動点」「頂点の軌跡」まで何となく意識に残したいと思っているのだが、どうだろうか？

生徒たちの感想から

例17「2次関数y=2x^2-3kx+18のグラフがx軸に接するように，定数kの値を定めよ．」 という問題について、気がついたこと（パソコンを使ってでも計算して気がついたことでもよい）

• kを求めるときに判別式を使うのにびっくりした
• kの値をどんどん動かしていくと頂点が放物線になった
• k=\pm 4のときにx軸に接していた
• x軸と接するときにはkは整数になった
• k>4のときとk<-4のとき共有点2個
• -4 < k < 4のとき共有点0個
• y軸を境に対称になった
• 頂点はグラフと逆の凸で曲線を描く
• kの値を変化させるとx軸との共有点の個数が変わる
• パソコンを使ってkの値を変えたとき、グラフがそのままきれいに移動した
• 判別式を利用して計算するとkがきれいに重解になった
• kが0より小さいと、y=2x^2-3kx+18のグラフの頂点は左側に位置して、0より大きいと右側に位置する。
• kが0から離れれば離れるほどグラフが下がっていく
• kがy軸との交点(0,18)よりも大きくなることはなかった
• ‖^_^‖からの質問　 kを変化させると本当に頂点は放物線になるのだろうか？ずっと先の方では違うグラフになったりしないだろうか？

例18　「放物線y=-x^2+2x+kとx軸との共有点の個数を調べよ．ただし，kは定数とする．」について気がついたこと、あるいは例17との違いについて気がついたこと

• kの値が変わると共有点の個数も変わる
• 例17は頂点が放物線のように移動するが例18は直線(x=1)に移動　（どうしてそうなるのか考えてみよう‖^_^‖
• kがcの時は軸がずっと一定
• kを変化させるとグラフが横に広がっていく。そしてだんだんと反対側の中にグラフが入っていく
• 例17と違ってkの値が決まってない。
• 例17の時にはグラフが左右に移動したが例18では上下に移動した
• k<-1のとき共有点2個，k=-1のとき共有点1個，k>-1のとき共有点0個
• 例17はD=0のときk= \pm 4と2個あるが，例18ではD=0のときk=-1と1個だけ。
• 共有点の個数は0，1，2のいずれかである。
• 判別式を使って計算したとき，例17の用にきれいに重解にならなかった
• 例17とは放物線の向きが逆向き
• kが複数ある
• グラフは上下に移動するだけで例17とは違いグラフの形自体は変わらない
• 例17のグラフは共有点の数が２→１→０→１→２だったけれど、例18は共有点の数が２→１→０だった
• 例17はbのところがkになって、例18はcのところがkになっているから一定の数字はでてこない

コンピュータを使った授業に対しての感想（よかったこと、よくなかったこと、悪かったこと、要望など・・・）

• 紙に書く時間が余りなかったから、次の時にはもう少し書く時間が欲しい
• 楽しかった
• グラフの動きがよく分かった　グラフはコンピュータなどで動きを見た方がわかりやすいと思う。これからもやりたい
• kやa,b,cを変化させるとグラフの形がすごく変わるということに気づけてよかった
• どうせならもっと複雑なグラフを見てみたかった(放課後にやってみるのは・・・‖^_^‖
• グラフの移動がよく分かった
• いちいち計算せずにkの値がでたり、グラフがすぐでてくるからわかりやすかった
• プリントよりも実際に動く方がわかりやすかった
• 放物線が動いていくのが目に見えるのでわかりやすかった。またやりたい
• 自分が見たいグラフがすぐに見られるのがいい
• ノートに書くとすごく大変なグラフもパソコンなら簡単でわかりやすかった
• 細かい変化が短時間で分かるのがいい
• 楽しかったけれど目が疲れた（ああいう細かい線を見るのが苦手な人はいやだったかも・・・‖^_^‖
• 放物線ばっかりだったからあまりおもしろくなかった
• パスワードのところでの時間がなかったらもう少し長くできたのに
• 操作が難しかった　少し関数が嫌いになったかも
• 計算の手間が省けるので楽だった
• 使い方が分かるようになりたいので定期的にやって欲しい（放課後じゃだめ？‖^_^‖
• グラフの中の１つの値が変わるだけでグラフが少しずつ変わっていくのがよく分かった
• コンピュータを使うと難しい計算とかしてくれるから楽しかった
• 例18と例17の違いをコンピュータでやった方がよいと思う
• y=ax^2+bx+cの式のbの数を動かすとグラフが大きく動いた
• a,b,cが増えるとそれぞれ動く方向が違う

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